Definitions
- 월드(World) : (2+1) 시공간.
- 오브젝트(Object) : 월드에 존재하는 어떠한 연속적 세계선을 가지고 있다 할수 있는 객체.
- 오브젝트 단면(Object Slice): 어떤 Object의 세계선에서 CoM을 관측자로 두고 자른 2차원 공간 단면.
Objects
- 모든 Object들은 점과 선으로 구성되있는 Weighted Graph와 그 Weighted Graph가 그리는 세계선이다.
- 이 Weighted Graph를 Object Graph라 하자.
Object Graph
Points in an Object Graph
- 모든 오브젝트의 Object Graph에는 질량 중심(Center of Mass, CoM)에 해당하는 점이 있다.
- 모든 Object의 Object Graph의 CoM의 세계선은 연속적이다.
- 모든 Object Graph의 점의 세계선은 특수한 경우를 제외하고 연속적이다(Rigid Object - Instantaneous Velocity Transition 참고)
- 어떤 Object의 Object Graph의 CoM의 세계선을 그 "Object의 세계선" 이라 한다.
- 모든 Object의 Object Graph의 CoM의 좌표는 해당 Object Slice의 좌표계에서 항상 (0,0)의 2차원 공간좌표를 가진다. 즉, "어떤 Object Slice의 좌표계"는 "해당 Object Slice와 CoM의 세계선과의 교점인 CoM을 관측자로 하는 좌표계" 이다.
- Object를 구성하는 나머지 점들은 전부 Object Slice의 좌표계에서 CoM을 기준으로 특정한 2차원 공간좌표 (x,y)를 가진다. 이는 회전이나 이동을 하며 바뀔 수 있다.
- 모든 Object Graph의 점들은 또한 기본 좌표 (x,y)를 가진다. 이는 해당 Object Slice의 CoM이 관성계에 있을때, 즉 가속하지 않고 있을때 그 점의해당 Object Slice의 좌표계에서 정상적으로 측정되는 CoM으로부터의 상대적 위치를 의미한다.
- 이 기본 좌표는 특정한 값이 아니라 해당 Object Graph의 CoM의 proper time에 따라 변하는 함수일 수도 있다.
- 단, 특수한 경우에는 CoM의 세계선이 등속운동 중 일 때에도 기본좌표와 Object Slice에서 각 점들의 좌표가 일치하지 않을 수도 있다.
- 모든 Object Graph의 모든 점들은 모든 좌표계에서 특정한 (2+1) 시공간 좌표 (t,x,y)를 가진다.
- 모든 Object Slice에는 그 Object의 Object Graph에 있는 모든 점들이 무조건 유일하게 존재해야 한다.
Lines in an Object Graph
- 모든 Object Graph의 선들은 해당 Object Graph를 구성하는 특정한 두 점을 있는다.
- 모든 Object Graph의 선들은 직선이거나 원의 현이다.
- 만약 직선일 경우, 선의 주어진 Weight는 해당 Object Graph의 CoM이 관성계에 있을때, 즉 가속하지 않고 있을때 해당 Object의 좌표계에서 측정되는 길이를 의미한다.
- 만약 원의 현일 경우, Weight가 두개 있으며 이는 각각 (현의 길이, 현을 이루는 원의 반지름)을 의미한다.
- 모든 Object Slice에는 그 Object의 Object Graph에 있는 모든 선들이 무조건 존재해야 한다.
Movement of an Object
Constant Velocity Translational Motion(등속 병진 운동)
- 어떤 Object의 세계선이 어떤 좌표계에서 선형으로 기울어져있을때(즉 등속 병진 운동시) 그 Object의 좌표계와 다른 좌표계 사이 변환은 로렌츠 변환을 통해 정해진다.
- 이때 해당 Object의 모든 Object Slice에서 각 점들은 CoM에 대해 기본 좌표를 유지하며, 앞서 말한 다른 (Object Slice에 대해 등속 병진운동을 하고 있는) 관측자의 좌표계에서 보기에 각 점들의 세계선의 방정식은 CoM의 세계선의 방정식을 통해 정해진다.
- 웬만한 경우에는 Object Graph의 기본 좌표/Weight들에 따라 Object Slice의 모양이 정해진다.
Accelerating Translational Motion(가속 병진 운동)
- 어떤 Object의 세계선이 어떤 좌표계에서 임의로 기울어져있을때(즉 가속 병진 운동시) 그 Object의 좌표계와 다른 좌표계 사이 변환은 가속중인 세계선에서 어느 시공간 좌표를 기준으로 하냐에 따라 다르며, 이때 가속중인 Object의 세계선 위 어떤 특정한 점 (t,x,y)를 기준으로 한다 할때, 그 점에서 접선을 그려 그때 순간 속도를 기준으로 로렌츠 변환을 통해 정해진다.
- 가속시 Object Slice의 모양은 Object마다 다르며 특수하게 정해진다.
Contant Velocity Rotational Motion(등각속 회전 운동)
Coming Soon
Accelerating Rotational Motion(가각속 회전 운동)
Coming Soon
Types of Objects
(Born) Rigid Object
- 만약 어떤 Object가 Rigid하다면, 그 Object의 모든 Object Slice의 좌표계에서 그 Object Slice의 모든 점의 좌표는 항상 기본 좌표와 동일하다.
- 즉, 가속/비가속 여부와 무관하게 항상 "모양"이 일정하다.
(Proto-Only) Instantaneous Velocity Transition
- 프로토타입에선 속도 변환이 즉각적으로 일어나며, 이에 따라 오직 등속 병진 운동만 존재하는 대신 모든 Object들의 세계선이 Globally 미분 불가능이다.
- 또한 프로토타입에선 모든 Object들이 Rigid 하다.
- 이에 따라 속도 전환이 일어날때, 공간면의 갑작스런 기울기 변화로 같은 점들이 동시에 두곳에서 관측이 되는 관성계가 존재하거나 비연속적인 세계선이 있을수 있다.
- 이럴 경우에는 CoM의 세계선만 연속적이면 되고, Object Graph의 나머지 점들은 연속적일 필요가 없다.